À l'aide d'un tableau

Propriété

Un tableau à double entrée permet de dénombrer les issues d'une expériences aléatoire, lorsque l'on étudie en même temps deux caractères d'une population.

Exemple

On demande à 1 000 personnes si elles ont plus ou moins de \(50\) ans et si elles ont un animal de compagnie. Les résultats sont récapitulés dans le tableau suivant.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{}&\text{A un animal de compagnie}&\text{N'a pas d'animal de compagnie}&\text{Totaux}\\\hline\text{Âgés de moins de 50 ans}&250&210&460\\\hline\hline\text{Âgés de 50 ans ou plus}&350&190&540\\\hline\text{Totaux}&600&400&1000\\\hline\end{array}\)Lecture du tableau

• \(1000\) personnes ont été interrogées.
  
• \(600\) personnes ont un animal de compagnie et \(400\) n'en ont pas.
  
• \(\)\(460\) personnes ont moins de \(50\) ans et \(540\) ont \(50\) ans ou plus.
  
• \(250\) personnes ont un animal de compagnie et sont âgées de moins de \(50\) ans.
  
• \(210\) personnes n'ont pas d'animal de compagnie et sont âgées de moins de \(50\) ans.
• \(350\) personnes ont un animal de compagnie et sont âgées de \(50\) ans ou plus.
• \(190\) personnes n'ont pas d'animal de compagnie et sont âgées de \(50\) ans ou plus.

On choisit au hasard une de ces personnes. C'est notre expérience aléatoire. Une personne, parmi les \(1\ 000\), est une issue. L'univers \(\Omega\) est ainsi constitué de \(1\ 000\) issues. On considère les événements suivants :
\(C\) : "La personne a un animal de compagnie".
\(A\) : "La personne a moins de \(50\) ans ".

L'événement \(C\) est constitué de \(600\) issues.
L'événement \(\overline{C}\) est constitué de \(400\) issues.
L'événement \(A\) est constitué de \(460\) issues
L'événement \(\overline{A}\) est constitué de \(540\) issues.
L'événement \(A\cap C\) est constitué de \(250\) issues.
L'événement \(A\cap \overline{C}\) est constitué de \(210\) issues.
L'événement \(\overline{A}\cap C\) est constitué de \(350\) issues.
L'événement \(\overline{A}\cap \overline{C}\) est constitué de \(190\) issues.

On définit une loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire. Chaque personne ayant autant de chance d'être choisie, les issues sont équiprobables.

Ainsi, par exemple, la probabilité que la personne ait un animal de compagnie et ait moins de \(50\) ans est : \(P(A\cap C)=\dfrac{250}{1\ 000}=0,25\).
La probabilité qu'elle n'ait pas d'animal de compagnie et ait moins de \(50\) ans est :\(P(A\cap \overline{C})=\dfrac{210}{1\ 000}=0,21\).